解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所需的研究可能需要數(shù)年時(shí)間。怎么樣，為什么？

為什么不呢？即使非常簡(jiǎn)短，非常簡(jiǎn)單的陳述也可以有非常長(zhǎng)的證明。

讓我證明這是真的（如果你愿意接受上述信仰，你可以跳過(guò)幾段）?？紤]所有關(guān)于算術(shù)的陳述的集合，這些陳述是可證明的（例如，來(lái)自皮亞諾公理），并且可以使用不超過(guò)[數(shù)學(xué)] N [/數(shù)學(xué)]在修改了表達(dá)此語(yǔ)言的語(yǔ)言之后，符號(hào)。這些陳述中的每一個(gè)都有假設(shè)證明;讓我們考慮最短的證據(jù)。好吧，因?yàn)橹挥杏邢迶?shù)量的符號(hào)，無(wú)論你選擇哪種語(yǔ)言，只能有多少這樣的語(yǔ)句，所以其中一個(gè)具有最長(zhǎng)的最短證明。讓我們稱(chēng)之為證明的長(zhǎng)度[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]。關(guān)鍵在于任何可證明是真實(shí)且不超過(guò)的陳述[數(shù)學(xué)] N [/數(shù)學(xué)]符號(hào)必須有最多的證明[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]符號(hào)很長(zhǎng)。

現(xiàn)在，假設(shè)[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]由一些可計(jì)算的函數(shù)限制在上面[數(shù)學(xué)] F（N）[/數(shù)學(xué)]- 也就是說(shuō)，有一些算法，如果你給它[數(shù)學(xué)] N [/數(shù)學(xué)]作為輸入，它將返回一個(gè)保證大于的整數(shù)[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]。例子可能是[數(shù)學(xué)] N ^ 2 [/數(shù)學(xué)]，[數(shù)學(xué)] N ^ 5 - N + 1 [/ math]，[數(shù)學(xué)] 2 ^ N [/數(shù)學(xué)]， 等等。那么，現(xiàn)在讓我們選擇一個(gè)任意的陳述[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]關(guān)于算術(shù)。我們測(cè)量它的長(zhǎng)度是多少，并將其寫(xiě)為[數(shù)學(xué)] N [/數(shù)學(xué)]。然后我們計(jì)算[數(shù)學(xué)] F（N）[/數(shù)學(xué)]，然后我們檢查所有長(zhǎng)度不超過(guò)的證明[數(shù)學(xué)] F（N）[/數(shù)學(xué)]，并檢查它們中是否有任何證明[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]。如果我們找到它，那就太好了 - 我們已經(jīng)證明了這一點(diǎn)[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]是真的。如果我們沒(méi)有找到它，那么我們可以得出結(jié)論，公理不能證明這一點(diǎn)[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]是真的。

但是，存在一個(gè)問(wèn)題：使用哥德?tīng)柧幪?hào)，您可以構(gòu)造一個(gè)語(yǔ)句[數(shù)學(xué)] S [/數(shù)學(xué)]這句話(huà)說(shuō)“這句話(huà)沒(méi)有比證明更短的證據(jù)[數(shù)學(xué)] F（100）[/數(shù)學(xué)]“聲明本身明顯短于[數(shù)學(xué)] 100 [/數(shù)學(xué)]符號(hào)很長(zhǎng)，所以這將是一個(gè)矛盾！由此，我們必須得出結(jié)論[數(shù)學(xué)]升（N）[/數(shù)學(xué)]增長(zhǎng)快于任何可計(jì)算的功能。它最終將遠(yuǎn)大于[數(shù)學(xué)] N ^ 2 [/數(shù)學(xué)]，[數(shù)學(xué)] N R個(gè)5 /數(shù)學(xué)]，[數(shù)學(xué)] 2 ^ N [/數(shù)學(xué)]，[數(shù)學(xué)] 2 ^ {2 ^ N} [/數(shù)學(xué)]，還有你能想到的其他任何東西。

因此，我們得出一個(gè)單一的，無(wú)可否認(rèn)的結(jié)論：即使是相對(duì)較短的陳述也可以擁有巨大的，令人費(fèi)解的長(zhǎng)證據(jù)。（甚至在你考慮到人類(lèi)極不可能找到給定語(yǔ)句的最短證據(jù)之前，因?yàn)槲覀儗⒁阉骺勺x的東西。）宇宙中這個(gè)不可改變的事實(shí)告訴你蠻力接近試圖找到數(shù)學(xué)陳述的證據(jù)是完全注定的;它實(shí)際上永遠(yuǎn)不會(huì)是一種可行的方法。

鑒于這是不可能的，有哪些選擇？或多或少，有兩個(gè)：你可以非常聰明，或者你可以非常耐心。當(dāng)一些數(shù)學(xué)家對(duì)如何大大簡(jiǎn)化問(wèn)題有一些敏銳的見(jiàn)解時(shí)，有一些定理得到證實(shí)，并且通過(guò)一些直覺(jué)的飛躍提出了正確解決方案所需的路徑。其他定理被證明是由于許多數(shù)學(xué)家花了很多時(shí)間來(lái)理解這個(gè)陳述如何適應(yīng)一些更大的框架，并且隨著時(shí)間的推移建立一個(gè)通用的結(jié)果體，一點(diǎn)一點(diǎn)地將所需語(yǔ)句的難度降低到零。在實(shí)踐中，它通常最終成為這兩種方法的某種組合。但是，您可能會(huì)注意到，這兩種方法都無(wú)法快速發(fā)揮作用。直覺(jué)的自發(fā)跳躍需要幾個(gè)月，幾年甚至幾代先前的工作，試圖在最終成為可能之前理解問(wèn)題。理論建設(shè)在其發(fā)展方式上更為一致，但它也需要大量時(shí)間來(lái)消化，確定哪些問(wèn)題是正確的研究，正確衡量目前可解決的問(wèn)題，以及哪些問(wèn)題應(yīng)留給下一代深思。

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