為什么學(xué)術(shù)界的人即使有一個(gè)簡(jiǎn)單但正確的證明，也要尋求嚴(yán)格的證明？

在數(shù)學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域，有兩個(gè)核心原因：

• “簡(jiǎn)單”的證明可能是錯(cuò)誤的
• 找到一個(gè)嚴(yán)格的證明將教會(huì)我們一些新的東西

直覺(jué)可能是錯(cuò)誤的第一個(gè)原因很重要，因?yàn)?/span>我們真的不想出錯(cuò).大多數(shù)數(shù)學(xué)思想都建立在數(shù)學(xué)中的其他思想之上，如果一個(gè)人不成立，整個(gè)領(lǐng)域可能會(huì)傾覆。

“簡(jiǎn)單”但不嚴(yán)格的證明的問(wèn)題在于，我們的直覺(jué)很容易完全錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性背后的全部要點(diǎn)——背后的全部要點(diǎn)所有的數(shù)學(xué)也許——是給我們一種外部方式來(lái)檢查和挑戰(zhàn)我們的直覺(jué)。這在某些領(lǐng)域比其他領(lǐng)域更重要（人類(lèi)發(fā)現(xiàn)概率和無(wú)窮大非常不直觀），但它在任何地方都相關(guān)。我們根本不能依靠直覺(jué)本身。

這是一個(gè)錯(cuò)誤證明的例子[數(shù)學(xué)]\pi = 4[/數(shù)學(xué)]在社交媒體上反彈。這個(gè)想法是，我們可以取一個(gè)周長(zhǎng)為 4 的正方形來(lái)界定一個(gè)直徑為 1 的圓，去掉它的角以獲得一個(gè)更接近圓但仍然具有相同周長(zhǎng)的形狀，然后無(wú)限重復(fù)這個(gè)過(guò)程來(lái)得到一個(gè)圓。

這是我在上面找到的一個(gè)稍微有點(diǎn)模因的插圖數(shù)學(xué)SE， 最初是從最好的.（如果您看到圖表，就更容易理解發(fā)生了什么。）

這個(gè)證明簡(jiǎn)單明了明顯錯(cuò)誤.我們知道這一點(diǎn)，因?yàn)槲覀兣銮芍?/span>[數(shù)學(xué)]\pi\ne 4[/數(shù)學(xué)]，但如果我們不知道這一點(diǎn)，我們會(huì)在哪里？

這里的實(shí)際錯(cuò)誤非常微妙（看看數(shù)學(xué)SE一個(gè)解釋的線程），而我們發(fā)現(xiàn)它的唯一方法是嘗試使論證變得嚴(yán)謹(jǐn)。更一般地說(shuō)，只有這樣我們才能合理理解[數(shù)學(xué)]\pi[/數(shù)學(xué)]它與圈子的關(guān)系是通過(guò)嚴(yán)格的論證。

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明教會(huì)我們更多我提出的第一個(gè)原因?qū)τ诜菙?shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)很容易理解。我的意思是，可能需要舉幾個(gè)例子來(lái)了解直覺(jué)是如何讓我們誤入歧途的，但很明顯為什么我們不想犯錯(cuò)。（除非你深入研究形而上學(xué)或大陸哲學(xué)，但我并不在乎。）

但我想說(shuō)這不是激勵(lì)數(shù)學(xué)家的主要因素。我的意思是，它是重要的，數(shù)學(xué)家比大多數(shù)人更重視正確性，但還有其他方法可以知道我們對(duì)某事是正確的。

我最近去看了一部關(guān)于孿生素?cái)?shù)猜想的紀(jì)錄片。演出結(jié)束后，我與一位著名的數(shù)論家進(jìn)行了交談，他對(duì)這樣的猜想有一個(gè)有趣的看法：我們已經(jīng)知道它們是真的.我們知道這些猜想和我們所知道的一樣成立任何事物在數(shù)學(xué)之外，以及我們知道明天太陽(yáng)會(huì)升起。我們進(jìn)行了大量模擬，處理了粒子物理學(xué)家羨慕的大量數(shù)據(jù)，進(jìn)行了在任何物理科學(xué)中都不可行的實(shí)驗(yàn)，而這些猜想一直成立。

這是大量的證據(jù)，在任何其他情況下都具有壓倒性的說(shuō)服力。幾乎所有你在學(xué)校里學(xué)到的算術(shù)以外的事實(shí)，出于必要，支持較少.

在數(shù)學(xué)之外不可能真正存在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)水平。抽象地說(shuō)，這個(gè)級(jí)別的事實(shí)是在數(shù)學(xué)中可達(dá)到的，并不會(huì)使其他證據(jù)在絕對(duì)意義上變得不那么令人信服。

那么為什么要特意去證明這些基本上已經(jīng)知道的事情呢？

答案是我們不關(guān)心證明只是為了告訴我們猜想是否正確：我們關(guān)心一個(gè)嚴(yán)格的證明來(lái)闡明關(guān)于問(wèn)題的結(jié)構(gòu).在這種情況下，證明將幫助我們理解數(shù)字本身的結(jié)構(gòu).我們將學(xué)習(xí)一些全新的東西。一些長(zhǎng)期存在的猜想的證明幾乎肯定會(huì)依賴于根本新穎的想法，因?yàn)槿绻贿@樣做，那么現(xiàn)在就會(huì)有人發(fā)現(xiàn)它1。反過(guò)來(lái)，這將導(dǎo)致新的抽象、新的探究領(lǐng)域和數(shù)學(xué)家需要解決的新問(wèn)題。

在很大程度上，這就是數(shù)學(xué)的實(shí)際進(jìn)展方式：證明不提供已知問(wèn)題的二元答案，而是幫助建立對(duì)數(shù)學(xué)的理解結(jié)構(gòu)體數(shù)學(xué)對(duì)象及其行為。數(shù)學(xué)證明不僅僅是其結(jié)論的證據(jù)，以至于我們可能根本不關(guān)心結(jié)論。

這有點(diǎn)難以理解，因?yàn)檫@里的“結(jié)構(gòu)”是一種模糊的概念。當(dāng)我說(shuō)這句話時(shí)，很難確切地確定我的意思，實(shí)際上，它會(huì)因領(lǐng)域而異。借用拉姆斯菲爾德的術(shù)語(yǔ)，猜想是已知的未知數(shù)，而我們更關(guān)心發(fā)現(xiàn)未知未知數(shù)，這就是嚴(yán)格證明的真正作用。很難準(zhǔn)確解釋這些未知的未知數(shù)是-那時(shí)它們只是未知的——但你可以明白為什么它們會(huì)有趣和重要。

腳注1 好吧，這個(gè)推理有點(diǎn)可疑。讓我想起經(jīng)濟(jì)學(xué)家的笑話：

兩位經(jīng)濟(jì)學(xué)家正走在路上，看到地上有一張 100 美元的鈔票。另一個(gè)轉(zhuǎn)向他說(shuō)：“別費(fèi)心去撿了。如果地上有 100 美元，早就有人拿走了?！?/span>

就像套利機(jī)會(huì)存在一樣，即使有人現(xiàn)在應(yīng)該已經(jīng)套利它們，我們偶爾也會(huì)找到無(wú)聊的證據(jù)來(lái)打開(kāi)問(wèn)題。但通常情況并非如此，問(wèn)題越出名，證明就越有可能有趣。

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